Reconocer las líneas notables del triángulo y usar la mediatriz para ubicar un punto que está a igual distancia de tres lugares en un problema real.
Competencia Resuelve problemas de forma, movimiento y localización.
Profesor(a) Paul Alexander Luque Ccosi
Motivación: la antena
En una zona rural de Puno hay tres escuelas, A, B y C, sin internet. El gobierno regional instalará una sola antena para las tres. Para que ninguna reciba menos señal, la antena debe quedar exactamente a la misma distancia de A, de B y de C.
A a B: 8 kmA a C: 9 kmB a C: 7 km
¿Dónde se debe instalar la antena?
No lo resolveremos ahora. Primero piensa y conversa con tu compañero:
Dibuja un croquis de las tres escuelas con esas distancias. ¿Qué figura forman?
Si la antena se pone en una de las escuelas, ¿cumple la condición? ¿Por qué?
Si solo fueran dos escuelas, A y B, ¿dónde pondrías la antena para que quede a igual distancia de ambas?
¿Cómo ubicarías ese punto en el terreno con cuerdas, estacas o con regla y compás?
Mi primera idea:
Al final de la sesión volveremos a este problema y lo resolveremos con lo que aprendamos.
Teoría: líneas notables
1. Concepto
Las líneas notables son líneas asociadas al triángulo. Se usan con frecuencia y cada una tiene sus propias características.
CevianaMedianaAlturaBisectrizMediatriz
2.1 Ceviana
Parte de un vértice
2.1.1 Ceviana interior
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto a dicho vértice.
BP: ceviana interior relativa a ACAP: ceviana interior relativa a BCCP: ceviana interior relativa a AB
ImportanteEn todo triángulo se pueden trazar infinitas cevianas interiores.
2.1.2 Ceviana exterior
Es un segmento que une un vértice con un punto cualquiera de la prolongación del lado opuesto a dicho vértice.
BD: ceviana exterior relativa a ACBE: ceviana exterior relativa a CACR: ceviana exterior relativa a BAAF: ceviana exterior relativa a CB
ImportanteEn todo triángulo se pueden trazar infinitas cevianas exteriores.
2.2 Mediana
Ceviana que biseca el lado
Es aquella ceviana interior que biseca el lado al cual es relativa.
BM: mediana relativa a ACLa mediana divide el lado en dos partes iguales: 3 y 3.La mediana divide el lado en dos partes iguales: 5 y 5.
ImportanteEn todo triángulo se pueden trazar tres medianas, una de cada vértice.
2.3 Altura
Ceviana perpendicular al lado
Es aquella ceviana perpendicular al lado al cual es relativa. La posición de la altura depende del tipo de triángulo.
AcutánguloBH: altura relativa a AC
RectánguloBH: altura relativa a la hipotenusa
ObtusánguloBH: altura relativa a CA
2.4 Bisectriz
Ceviana que biseca un ángulo
2.4.1 Bisectriz interior
Es aquella ceviana interior que biseca a un ángulo interior.
AD: bisectriz interior relativa a BCEl ángulo en B mide 60°, así que cada parte mide 30°.El ángulo en C mide 50°, así que cada parte mide 25°.
2.4.2 Bisectriz exterior
Es aquella ceviana exterior que biseca a un ángulo exterior.
BD: bisectriz exterior relativa a AC
El ángulo exterior mide 80°, así que cada parte mide 40°.El ángulo exterior mide 100°, así que cada parte mide 50°.
En la primera figura, BC < AB.
2.5 Mediatriz
La clave para ubicar la antena
Es aquella recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio de dicho lado.
ℒ: mediatriz de ACMediatriz de ABMediatriz de BC
ImportanteTodo triángulo tiene tres mediatrices, una relativa a cada lado.
Propiedad de la mediatriz
Si P está en la mediatriz de AB, entonces PA = PB. Y al revés: si PA = PB, el punto P está en la mediatriz.
¿Para qué sirve?
Para encontrar el punto que está a igual distancia de tres lugares.
Antena para tres escuelasPozo para tres comunidadesCentro de acopio para tres plazas
Ejercicios
1
Nivel básico · Mediana
El terreno de don Julián
Don Julián tiene un terreno triangular ABC en Chucuito. Quiere trazar un camino recto desde el vértice A hasta el punto medio M del lado BC, para dividir el terreno en dos partes. Se mide BM = (2x + 4) m y MC = (3x − 8) m.
¿Cómo se llama el camino AM? ¿Por qué?
Halla el valor de x.
¿Cuánto mide el lado BC completo?
Desarrollo
Respuesta:
2
Nivel medio · Bisectriz exterior
El cable de sujeción
Un terreno triangular ABC está junto a una carretera que pasa por los puntos D, A y C. Desde la esquina B se tiende un cable hasta el punto D de la carretera (D queda en la prolongación de CA, más allá de A). El cable BD divide en dos partes iguales el ángulo exterior del terreno en B. Se sabe que el cable mide lo mismo que el lado BC (DB = BC) y que ∠BDA = 26°.
Terreno ABC y el cable BD (la figura no está a escala).
¿Qué línea notable del triángulo ABC es el cable BD?
Calcula ∠DBA, el ángulo que forma el cable con el lado BA.
Comprueba tu resultado: halla los ángulos interiores del terreno y verifica que suman 180°.
Desarrollo
Respuesta:
3
Nivel medio · Altura y bisectriz
La cercha de la escuela
Una cercha de madera tiene forma de triángulo ABC, con ∠A = 70° y ∠C = 40°. Desde el vértice B se coloca un tirante BH perpendicular al lado AC (altura) y otro tirante BD que biseca el ángulo B.
Halla ∠ABC.
Halla ∠ABH (ángulo entre el lado BA y la altura).
Halla ∠ABD y luego el ángulo HBD entre los dos tirantes.
Desarrollo
Respuesta:
4
Nivel avanzado · Mediatriz
El tanque de agua
Una comunidad tiene tres casas A, B y C, unidas por caminos rectos AB, BC y AC. Se quiere construir un tanque de agua en un punto P del camino BC que esté a igual distancia de A y de C. Se sabe que AB = 10 m, BC = 14 m y ∠C = 35°.
¿Qué línea notable del lado AC pasa por P? Dibújala.
Si se tiende tubería formando el triángulo ABP, ¿cuántos metros de tubería se necesitan (AB + BP + PA)?
Halla el ángulo APB.
Desarrollo
Respuesta:
El último reto es el problema de la antena: aplica todo lo que aprendiste en estos cuatro ejercicios.
Resolvemos el problema de la antena
Volvemos al problema del inicio: tres escuelas A, B y C, con AB = 8 kmAC = 9 kmBC = 7 km
Con lo que aprendimos hoy, ubica el punto donde debe ir la antena y explica por qué está a igual distancia de las tres escuelas.
Espacio para el desarrollo: construcción, razonamiento y respuesta.
En la plaza de mi comunidad hay un jardín triangular ABC con ∠A = 120° y ∠C = 20°. Desde la esquina B se tiende una manguera BH perpendicular a la línea que contiene el lado CA; como el jardín es obtusángulo, el punto H queda fuera del jardín, en la prolongación de CA. Además, un caminito BD divide en dos partes iguales el ángulo B del jardín.
Jardín ABC (la figura no está a escala).
¿Qué línea notable es la manguera BH? ¿Por qué cae fuera del jardín?
Halla ∠ABC.
Halla ∠ABH.
Halla el ángulo HBD que forman la manguera y el caminito.
